4.2 Distribución Binomial

 Es la distribución de la v.a. X ∼ B(1, p) que toma el valor 1 (”éxito”) con probabilidad p y el valor 0 (”fracaso”) con probabilidad q = 1− p. Es un modelo que puede aplicarse, por ejemplo, para simular la predicción del sexo de un recién nacido. 

Dado que 0 < p < 1, su función de masa es

P [X = 0] = 1− p = q y P [X = 1] = p

con lo cual,

E[X] = p y V ar[X] = pq

 Cuando p > q, la moda es 1, mientras que cuando p < q, la moda es 0. Sus coeficientes de asimetŕıa (γ1) y curtosis (γ2) son,

Distribución Binomial.

 Es la distribución de la v.a. X ∼ B(n, p) que describe el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de éxito en cada prueba es p.

 Su función de masa es:

y puede probarse que

E[X] = np y V ar[X] = npq

La f.ca. viene dada por

Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toman elementos al azar con reem- plazo, y también a poblaciones conceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso de producción sea estable (esto es, la propor- ción de piezas defectuosas se mantenga constante a largo plazo) y sin memoria (es decir, el resultado de cada pieza no dependa de las anteriores).

Propiedades:

1. Fórmula recursiva para calcular probabilidades binomiales:

2. Si X ∼ B(n, p), entonces Y = n−X ∼ B(n, 1− p).

3. Reproductividad: Una v.a. binomial puede representarse como suma de n v.a. indepen- dientes de Bernoulli:

Referencias:

Juan González, A. M. (2016). Probabilidad. Almería, Spain: Editorial Universidad de Almería. 

 Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/vcarranza/44558?page=537.