4.3 Distribución Hipergeometrica

Supondremos que los experimentos individuales son dependientes. Este nuevo tipo de experimento resultante se llamará experimento hipergeométrico, y se usa comúnmente cuando el muestreo se hace sin reemplazo.

En general, un experimento hipergeométrico con parámetros n, M y N está basado en las siguientes suposiciones

(H1) La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo es una población finita con N elementos.

 (H2) Cada elemento de la población puede ser caracterizado como un éxito o un fracaso.

 (H3) Hay M éxitos en la población.

(H4) Se elige una muestra sin reemplazo de n individuos, de tal forma que sea igualmente probable seleccionar cada subconjunto de tamaño n.

Distribución hipergeométrica

 En un experimento hipergeométrico con parámetros n, M y N , como el descrito en la sección anterior, la variable de interés X es siempre “el número de éxitos obtenidos en la muestra”. 

La distribución de probabilidad de X, llamada distibución hipergeométrica, depende de los parámetros n, M y N , y la probabilidad que inicialmente nos interesa estudiar es la de obtener k éxitos en la muestra, la cual simbolizaremos con h(k; n,M,N). Es decir, estaremos interesados en calcular la probabilidad

P (X = k) = h(k; n,M,N)

cuya fórmula aparece después de analizar el siguiente ejemplo que identifica a un tipo de experimento hipergeométrico.

Dado un conjunto con N elementos (población finita) de los cuales M son de un tipo ”A” y el resto son de un tipo ”B”, entonces la probabilidad de seleccionar un elemento del tipo A es p = M/N .

 Si seleccionamos simultánemanente n (≤ N) elementos de dicho conjunto, la v.a. X ∼ H(N,n, p) describe el número de elementos del tipo A en la muestra de tamaño n. Su función de masa viene dada por.

para máx (0, n −Nq) ≤ k ≤ mı́n (n,Np) y en conseciencia.

Cuando el muestreo o las extracciones se hacen sin reemplazamiento, el modelo es el Hipergeométrico. Como puede observarse, las medias de ambos modelos coinciden mientras que sus varianzas difieren por el factor 

conocido como factor de correción para población finita. Dado que este factor es menor que 1, la varianza de la v.a. hipergemétrica es menor que la de la v.a. binomial. No obstante, cuando n es pequeño con respecto a N, entonces

y, por tanto, puede afirmarse que el muestreo sin reemplazamiento tiende a coincidir con el muestreo con reemplazamiento (pruebas independientes) cuando N, la población, crece infinitamente.

Referencias:

Juan González, A. M. (2016). Probabilidad. Almería, Spain: Editorial Universidad de Almería. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/vcarranza/44558?page=538.