4.5 Distribucion Normal

 Distribución Normal (o de Gauss).

 Es la distribución de probabilidad más importante. Fue descrita por De Moivre (1738), como aproximación (o distribución ĺımite) de la distribución binomial. En 1774, Laplace la deduce como aproximación de la distribución hipergeométrica. A principios del s. XIX, Gauss la deduce al observar el comportamiento de los errores en el cálculo de las órbitas de los plane- tas, y desarrolla un método para determinar órbitas astrales y predecir el lugar y el momento de la aparición del asteroide Ceres. A partir de entonces, se utilizó para problemas relacio- nados con la distribución de los errores en cualquier otro tipo de medidas experimentales. 

En el s. XX su importancia queda totalmente consolidada por ser la distribución ĺımite de numerosas distribuciones de probabilidad, discretas y continuas, como se demuestra a través de los resultados relativos al Teorema Central del Ĺımite. Dado que, además, de ella derivan otras distribuciones: χ2 de Pearson, T de Student y F de Snedecor, de importancia clave en Estad́ıstica, es el modelo probabiĺıstico de multitud de caracteŕısticas de muchos de los fenómenos aleatorios que surgen en el campo de las ciencias naturales y experimentales. Formalmente, se dice que una v.a. X tiene una distribución gaussiana o normal, si su densidad está dada por:

donde a es un número real y b un número real positivo. Puesto que dicha densidad queda determinada por ambas cantidades, éstas son los parámetros de la distribución y se dice que X ∼ N (a, b). La curva de la densidad presenta las caracteŕısticas siguientes: su dominio es R; la recta y = 0 es una aśıntota horizontal; el valor máximo lo alcanza en el punto:

tal forma que la curva crece para x < a y decrece para x > a; y la curva tiene dos puntos de inflexión en x = a± b, de tal forma que es cóncava para a− b < x < a+ b, y convexa, en caso contrario.

La curva tiene, en definitiva, forma de campana y por ello se la conoce como campana de Gauss. Su media y desviación t́ıpica son: 

μ = E[X] = a y σ = b

lo que significa que μ y σ son los parámetros que la caracterizan y aśı, X ∼ N (μ, σ) con densidad de probabilidad

que es simétrica respecto a la recta x = μ (⇒ γ1 = 0) y puesto que μ4 = 3σ4 (⇒ γ2 = 0), la distribución normal es mesocúrtica. Su f.ca. viene dada por

Hay multitud de v.a. normales, según los posibles valores de μ y σ. Aśı, fijado σ, la campana se desplaza a derecha o izquierda según el valor de μ. Por el contrario, fijado μ, la campana es más apuntada o más aplastada según el valor de σ, esto es, cuanto mayor sea σ, más aplastada es la campana.

La importancia de esta distribución y la complejidad del cálculo de las probabilidades relativas a ella, han dado lugar a la compilación de la tabla para la f.d.p. de la llamada distribución normal ”tipificada”, que es la distribución normal de media nula (μ = 0), y desviación t́ıpica unidad (σ = 1), que representamos por Z ∼ N (0, 1). Para cualquier otra v.a. normal X ∼ N (μ, σ), podemos calcular probabilidades relativas a X ”tipificándola”. En efecto, puesto que ley normal tiene la propiedad de que cualquier transformación lineal de una v.a. normal, es también una v.a. normal, entonces

Referencias:

Juan González, A. M. (2016). Probabilidad. Almería, Spain: Editorial Universidad de Almería. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/vcarranza/44558?page=547.