4.4 Distribución de Poisson

 La distribución de Poisson surge cuando un evento o suceso ”raro” ocurre aleatoriamente en intervalos que pueden ser temporales, espaciales, ... o de cualquier otro tipo. Por ejemplo, el número de llamadas telefónicas por minuto en algún tablero de interruptores, el número de errores de impresión por página en un texto grande, el número de part́ıculas emitidas por una sustancia radiactiva, . . . .

El concepto de evento ”raro” o poco frecuente debe entenderse en el sentido de que la probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta. Para que una variable recuento siga una distribución de Poisson deben cumplirse las condiciones siguientes:

1. En un intervalo muy pequeño (p.e. un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo. 

2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula. 

3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier otro intervalo pequeño que no se solape con aquél.

Estas condiciones significan, en definitiva, que el proceso que genera una distribución de Poisson, o proceso de Poisson, sea estable, es decir, produzca, a largo plazo, un número medio de sucesos constante por unidad de observación, y no tenga memoria: conocer el número de sucesos en un intervalo no ayude a predecir el número de sucesos en el siguiente. 

Este proceso es ampliamente utilizado en teoŕıa de colas, sistemas de inventario, demo- graf́ıa (modelos de nacimiento y muerte) y epidemioloǵıa. Formalmente, la v.a. de Poisson, X ∼ P(λ), es la que describe el número de éxitos ocurridos en un intervalo de tiempo o de espacio o ... determinado. 

Su parámetro λ o tasa de ocurrencia, es el número medio de ocurrencias del suceso observado en un intervalo unidad, y su función de masa es

demostrándose la siguiente fórmula recursiva para calcular tales probabilidades,

Puede probarse que 

E[X] = λ y V ar[X] = λ 

y la igualdad de ambas medidas es una caracteŕıstica de esta distribución. La f.ca. viene dada por

Uso de tablas de Poisson 

Al igual que el cálculo de probabilidades binomiales, el cálculo de probabilidades de Poisson también llega a ser tedioso. Por esta razón, también hay tablas, como la tabla B.2 del apéndice, que tabulan la función de distribución acumulada F(t) = P(X < t) = P(t;A) para algunos valores de A.

Referencias:

Llinás Solano, H. (2017). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla, Colombia: Universidad del Norte. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/vcarranza/70059?page=244.